Пусть число x+1/x — целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [−2014;2014] число x^k+1/(x^k) тоже является целым?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку x + 1/x является целым числом, мы можем записать x^2 + 1 в виде (x + 1/x)^2 - 2. Таким образом, если x + 1/x = n, где n - целое число, то x^2 + 1 = n^2 - 2 будет также целым числом.

Итак, x^2 + 1 оказывается целым числом для всех целых n. Теперь рассмотрим выражение x^k + 1/(x^k). Мы уже знаем, что x^2 + 1 целое для любого x. Поэтому если мы возьмем k = 2m, где m - целое число, то x^k + 1/(x^k) также будет целым числом.

Таким образом, наименьшее количество целых чисел k из отрезка [−2014;2014], для которых x^k + 1/(x^k) будет целым, равно бесконечности, потому что можно взять любое четное k.