Геометрия егэ пробник 14 задача Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными ребрами является прямоугольник ABCD площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания пересекает ребро AS в точке А1, а высоту пирамиды ‐ в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60 градусов.
а) Докажите, что сечение пирамиды OABCD плоскостью BCA1 делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины.
б) Найдите площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку угол между гранями ADS и BCS равен 60 градусов, то треугольники ADO и BCO равнобедренные. Значит, AO = OC. Так как точка О является серединой высоты пирамиды, то точка A1 также будет являться серединой отрезка AS. Таким образом, отношение высоты пирамиды, разделенной плоскостью BCA1, к высоте всей пирамиды будет 1:2.

б) Площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1 можно найти следующим образом: сначала рассчитаем площадь треугольника BOA1, затем удвоим её. Так как треугольник BOA1 равнобедренный, то можно использовать формулу S = 0.5 a h, где a — основание треугольника, h — высота треугольника. Так как BC = AB = a, то площадь треугольника BOA1 равна S1 = 0.5 AB BO = 0.5 AB AO.

Теперь найдем площадь треугольника BCO. Отношение площадей треугольников BCO и BOA1 равны отношению высот треугольников, а это 2:1. Значит, S(BCO) = 2 * S(BOA1).

Площадь сечения пирамиды S = 2 S1 = 0.5 AB AO + 1.5 AB AO = 2 AB AO. Так как AB = BC = AO, то S = 2 BC AO = 2 5 * 5 = 50.

Ответ: площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1 равна 50.