Задача по геометрии на ЕГЭ в правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка М - середина SD. Найдите расстояние от точки А до прямой МВ.
Решить нужно координатным методом, не как обычные задачи

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи используем координаты вершин пирамиды. Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0), точка B - (2, 0, 0), точка C - (2, 2, 0), точка D - (0, 2, 0) и точка S - (1, 1, 4).

Так как точка М - середина отрезка SD, то координаты точки М равны среднему арифметическому координат вершин S и D:
М = ((1+0)/2, (1+2)/2, (4+0)/2) = (0.5, 1.5, 2)

Теперь найдем уравнение прямой MB. Вектор MB будет равен разности координат точек B и M:
MB = (2-0.5, 0-1.5, 0-2) = (1.5, -1.5, -2)

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки M и B. Уравнение этой прямой будет:
x/1.5 = y/-1.5 = z/-2

Теперь найдем равнение плоскости ABCD. Для этого воспользуемся векторным произведением векторов AB и AC:
n = AB x AC = (2, 0, 0) x (0, 2, 0) = (0, 0, 4)

Так как точка S лежит на плоскости ABCD, то можем записать уравнение плоскости в виде n(r-S) = 0:
(0, 0, 4)(r-(1, 1, 4)) = 0
0x + 0y + 4*(z-4) = 0
4z - 16 = 0
z = 4

Теперь найдем точку пересечения прямой MB со плоскостью ABCD:
4 = -2*t + 4
t = 0

То есть точка пересечения прямой MB и плоскости ABCD – это точка М, а значит, расстояние от точки А до точки МВ равно расстоянию от точки А до точки М:
d(A, MB) = d(A, M) = sqrt((0-0.5)^2 + (0-1.5)^2 + (0-2)^2) = sqrt(0.5^2 + 1.5^2 + 2^2) = sqrt(0.25 + 2.25 + 4) = sqrt(6.5) ≈ 2.55

Ответ: расстояние от точки А до прямой МВ равно примерно 2.55.