Найти d^2y/dx^2 от функции x=t+(1/2)sin^2*t y=cos^3*t.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения второй производной функции (y = \cos^3 t) по (x), нам нужно сначала найти первую производную:

[ \frac{dy}{dt} = -3\sin t \cos^2 t ]

А теперь найдем вторую производную:

[ \frac{d}{dx} \left( -3\sin t \cos^2 t \right) = \frac{d}{dt} \left( -3\sin t \cos^2 t \right) \cdot \frac{dt}{dx} ]

Мы знаем, что (x = t + \frac{1}{2}\sin^2 t), поэтому (\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + \sin t \cos t}).

Теперь продифференцируем выражение для (-3\sin t \cos^2 t) по (t):

[ \frac{d}{dt} (-3\sin t \cos^2 t) = -3(\cos^2 t - \sin^2 t)\sin t = -3\cos^2 t \sin t + 3\sin^3 t ]

И умножим это на (\frac{1}{1 + \sin t \cos t}):

[ \left( -3\cos^2 t \sin t + 3\sin^3 t \right) \cdot \frac{1}{1 + \sin t \cos t} ]

Это и будет вторая производная функции (y = \cos^3 t) по (x).