помогите решить . Квадрат ABCD и окружность расположены так, что окружность касается прямой BD в точке D, а центр окружности лежит по ту же сторону от прямой BD, что и точка A. Из точки C к окружности провели касательные CK и CM (K, M – точки касания). Оказалось, что угол KCM=2 arcsin(корень из 1/13). Найдите сторону квадрата, если радиус окружности равен 25 корней из 2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону квадрата как а. Так как окружность касается прямой BD в точке D, то угол DBM=90 градусов.

Также из условия угол KCM=2 arcsin(корень из 1/13), что равно 2 arcsin(1/√13).

Поскольку CK и CM - касательные, угол MCK = 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник KCM. Мы знаем угол KCM и угол MCK, поэтому мы можем найти третий угол:

180 = КМС + KCM + MCK

180 = 2 arcsin(1/√13) + 90 + 2 arcsin(1/√13)

180 = 180

Таким образом, мы видим, что треугольник KCM - прямоугольный с гипотенузой KM, равной радиусу окружности, то есть 25√2.

Из этого следует, что:

tan(2 arcsin(1/√13)) = KM/CM

tan(2 arcsin(1/√13)) = 25√2/СМ

2 * tan (arcsin(x)) = 2x/√(1-x^2).

Подставим x = 1/√13:

2 * (1/√13) / √(1 - 1/13) = 25√2/CM

2/√(12/13) = 25√2/CM

2√(13/12) =25√2/СМ

CM = 25√2/(2√(13/12))

CM = 2512 / 213 = 150/13

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике KCM, мы можем найти сторону квадрата а:

а = √(CK^2 + CM^2)

а = √(25^2 + (150/13)^2)

а = √(625 + 22500/169)

а = √(41875/169)

а = √(41875) / √(169)

a = 205/13.

Итак, сторона квадрата равна 205/13.