При каких значениях X соответственные значения функций f(x)=log3(10-x) и g(x)=log3(x+4) будут отличаться не меньше,чем на 2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы значения функций f(x) и g(x) отличались не меньше, чем на 2, необходимо чтобы разница их значений по модулю была больше или равна 2.

То есть |log3(10-x) - log3(x+4)| >= 2

Преобразуем данное выражение:

|log3(10-x) - log3(x+4)| = log3(10-x) / log3(x+4) = log3(10-x) * log3(3) / log3(x+4)

Пользуясь свойством логарифмов log3(x) = 1/logx(3), преобразуем:

= log(10-x) * 1/log(x+4)(3)

= 1/(log(x+4)(10-x)) * 1/(1/log(3)(x+4))

= 1 / (log(x+4)(10-x) * log(3)(x+4))

= 1 / (log3(10-x)) * log3(x+4)

Для того чтобы значение выражения выше было больше или равно 2, необходимо чтобы оно было больше или равно 2:

1 / (log3(10-x) * log3(x+4)) >= 2

=> log3(10-x) * log3(x+4) <= 1/2

=> log3(10-x) * log3(x+4) <= log3(sqrt(3))

Поскольку логарифмы - монотонные функции, неравенство log3(10-x) * log3(x+4) <= log3(sqrt(3)) имеет решение, если:

log3(10-x) <= log3(sqrt(3)) и log3(x+4) <= log3(sqrt(3))

Следовательно:

10 - x <= sqrt(3) и x + 4 <= sqrt(3)

Отсюда, x <= 10 - sqrt(3) и x <= - 4 - sqrt(3)

Следовательно, значения X, при которых значения функций f(x) и g(x) отличаются не меньше чем на 2 это:

X <= 10 - sqrt(3) || X <= - 4 - sqrt(3)