Интеграл dx/(1+2x^2)неопределенный интеграл от 0 до пи/2 cos/квадратный корень 2sin+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого интеграла, сначала раскроем косинус квадрата аргумента:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь подставим это выражение в заданный интеграл:

∫[0, π/2] cos^2(√(2sin(x) + 1)) dx = ∫[0, π/2] (1 - sin^2(√(2sin(x) + 1))) dx

Теперь заменим переменную: t = √(2sin(x) + 1), тогда dt = cos(x)/√(2sin(x) + 1) dx

Когда x=0, t=1, x=π/2, t=√2. Теперь можно записать интеграл в новых переменных:

∫[1, √2] (1 - t^2) dt = t - t^3/3 |[1, √2] = √2 - 2√2/3 - (1 - 1/3) = 2/3

Итак, неопределенный интеграл от cos^2(√(2sin(x) + 1)) от 0 до π/2 равен 2/3.