Для решения этого интеграла, сначала раскроем косинус квадрата аргумента:
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
Теперь подставим это выражение в заданный интеграл:
∫[0, π/2] cos^2(√(2sin(x) + 1)) dx = ∫[0, π/2] (1 - sin^2(√(2sin(x) + 1))) dx
Теперь заменим переменную: t = √(2sin(x) + 1), тогда dt = cos(x)/√(2sin(x) + 1) dx
Когда x=0, t=1, x=π/2, t=√2. Теперь можно записать интеграл в новых переменных:
∫[1, √2] (1 - t^2) dt = t - t^3/3 |[1, √2] = √2 - 2√2/3 - (1 - 1/3) = 2/3
Итак, неопределенный интеграл от cos^2(√(2sin(x) + 1)) от 0 до π/2 равен 2/3.
Для решения этого интеграла, сначала раскроем косинус квадрата аргумента:
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
Теперь подставим это выражение в заданный интеграл:
∫[0, π/2] cos^2(√(2sin(x) + 1)) dx = ∫[0, π/2] (1 - sin^2(√(2sin(x) + 1))) dx
Теперь заменим переменную: t = √(2sin(x) + 1), тогда dt = cos(x)/√(2sin(x) + 1) dx
Когда x=0, t=1, x=π/2, t=√2. Теперь можно записать интеграл в новых переменных:
∫[1, √2] (1 - t^2) dt = t - t^3/3 |[1, √2] = √2 - 2√2/3 - (1 - 1/3) = 2/3
Итак, неопределенный интеграл от cos^2(√(2sin(x) + 1)) от 0 до π/2 равен 2/3.