В треугольнике АВС АС=3, ВС=4, медианы АК и ВЛ перпендикулярны между собой. Найдите площадь треугольника АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию известно, что медианы перпендикулярны между собой. Значит, треугольник АКВ прямоугольный.

Так как медианы пересекаются в точке М и делятся в отношении 2:1, то АМ=2*КМ.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АКМ:
АК^2 + КМ^2 = АМ^2.
АК^2 + 4 = (2КМ)^2 = 4КМ^2.
АК^2 + 4 = 4КМ^2.
То есть, 3^2 + 4 = 4КМ^2.
9 + 4 = 4КМ^2.
13 = 4КМ^2.
КМ^2 = 13/4.
КМ = √(13/4) = √13/2.

Так как КМ равно 2/3 от КВ, то КВ будет равна 3/2*√13/2 = 3√13/4.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 1/2 3 3√13/4 = (9√13)/8.

Ответ: площадь треугольника АВС равна (9√13)/8.