Даны точки K(-1;-1); L(-2;1); M(2;3); N(3;1). а) докажите, что KLMN - прямоугольник; Даны точки K(-1;-1); L(-2;1); M(2;3); N(3;1).
а) докажите, что KLMN - прямоугольник;
б) найдите косинус угла между его диагоналями;
в) найдите площадь прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для того чтобы доказать, что KLMN - прямоугольник, достаточно показать, что все его стороны параллельны соответствующим сторонам и что углы при вершинах прямые.

Сначала проверим параллельность сторон:

Отрезок KL проходит через точки K(-1;-1) и L(-2;1). Его направляющий вектор равен (-2-(-1);1-(-1)) = (-1;2).

Отрезок MN проходит через точки M(2;3) и N(3;1). Его направляющий вектор равен (3-2;1-3) = (1;-2).

Получаем, что вектор KL (-1;2) и вектор MN (1;-2) коллинеарны, следовательно, отрезки KL и MN параллельны.

Аналогичным образом можно показать, что отрезки KM и NL также параллельны.

Теперь проверим, что углы при вершинах прямые:

Найдем направляющие векторы KL, KM, MN, NL:

KL (-1;2)
KM (2-(-1);3-(-1)) = (3;4)
MN (1;-2)
NL (3-(-2);1-1) = (5;0)

Проверим, что произведение скалярных произведений этих векторов равно 0:

(KL, KM) (KM, MN) = (-13 + 24) (3(-2) + 41) = (-3 + 8)( -6 + 4) = 5(-2) = -10

(KM, MN) (MN, NL) = (31 + 4(-2)) (-25 + 01) = (3 - 8)( -10) = -5(-10) = 50

Таким образом, произведения не равны 0, следовательно, углы не являются прямыми.

Из этого следует, что KLMN не является прямоугольником.

б) Найдем косинус угла между диагоналями прямоугольника. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

cos(угол) = (AB CD) / |AB||CD|,

где AB и CD - диагонали прямоугольника KLMN

Найдем вектора диагоналей:

AC (KM) = (3;4)
BD (NL) = (5;0)

Найдем их скалярное произведение:

AC BD = 35 + 4*0 = 15

Найдем длины диагоналей:

|AC| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9+16) = 5
|BD| = sqrt(5^2 + 0^2) = 5

Теперь подставим все в формулу для косинуса угла между диагоналями:

cos(угол) = 15 / (5*5) = 15 / 25 = 0.6

Ответ: косинус угла между диагоналями прямоугольника KLMN равен 0.6.

в) Найдем площадь прямоугольника KLMN. Площадь прямоугольника можно найти как произведение длин его сторон:

Длина стороны KM: sqrt((2-(-1))^2 + (3-(-1))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = 5
Длина стороны KL: sqrt((-2-(-1))^2 + (1-(-1))^2) = sqrt((-1)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)
Площадь прямоугольника KLMN: 5 sqrt(5) = 5sqrt(5) ≈ 11.18

Ответ: Площадь прямоугольника KLMN равна 5*sqrt(5) ≈ 11.18.