Найти значение функции в точке экстремума f(x)=4^(2*log(4)*x-log(0,25)*(x-3)^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремума функции f(x) мы должны найти производную и приравнять её к нулю.

f(x) = 4^(2log(4)x - log(0.25)*(x-3)^2)

Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования сложной функции:

f'(x) = [(4^(2log(4)x - log(0.25)(x-3)^2))' = (e^ln(4))^(2log(4)x - log(0.25)(x-3)^2) ((2log(4)ln(e))((2log(4)x - log(0.25)(x-3)^2))' + (-log(0.25)ln(e))((2log(4)x-log(0.25)(x-3)^2)' = 4^(2log(4)x-log(0,25)(x-3)^2) (2log(4)(2log(4)x - log(0.25)(x-3)^2) (2log(4)) + (-log(0,25)(2log(4)x-log(0,25)(x-3)^2)(2)) = 4^(2log(4)x-log(0,25)(x-3)^2) (2^2log(4)log(4) - 2log(0,25)(2x-log(0,25)(x-3)))

Далее приравниваем производную к нулю для нахождения точки экстремума:

f'(x) = 0

4^(2log(4)x-log(0,25)(x-3)^2) (2^2log(4)log(4) - 2log(0,25)(2x-log(0,25)(x-3))) = 0

Решив уравнение, найдем точку экстремума - x:

2^2log(4)log(4) - 2log(0,25)(2x-log(0,25)(x-3)) = 0
4log^2(4) - 2log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3)) = 0

4log^2(4) = 2log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))
2log(4) 2log(4) = 2log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))
4log^2(4) = log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))
4log^2(4) = log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))
log^2(4^4) = log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))
16 = log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))

16 = log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3))
log(0,25)(2x - log(0,25)(x - 3)) = 1/4 = log(0.25)^(-1)

2x - log(0,25)(x - 3) = 0.25

x = 0.25/log(0,25) = 0.25/log(1/4) = 0.25/log(4) = 0.25/(log(2) * 2) = 0.25/2log(2)

Теперь подставим найденное значение x обратно в функцию f(x) для нахождения значения функции в точке экстремума:

f(x) = 4^(2log(4)x - log(0.25)(x-3)^2) = 4^(2log(4)(0.25/2log(2)) - log(0.25)((0.25/2log(2))-3)^2) = 4^(2(log(4)/2log(2)) - log(0.25)((0.25/2log(2))-3)^2) = 4^(log(4)) - log(0.25)((-2log(2)/2log(2)-3)^2) = 4^2 - log(0.25)((-2-3)^2) = 16 - log(0.25)(-5)^2 = 16 - log(0.25)25 = 16 - (-\text{ln}(1/4)25) = 16 + 25\text{ln}(4) = 16 + 251 = 16 + 25 = 41

Таким образом, значение функции в точке экстремума равно 41.