Задача. Аналитическая геометрия. Через левый фокус эллипса 9x^2 +25y^2 =225 проведена хорда перпендикулярная большой оси. Найти уравнение касательных к эллипсу в точках пересечения эллипса и хорды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем уравнение хорды, проходящей через левый фокус эллипса.
Пусть уравнение данной хорды имеет вид y = kx + b. Так как хорда перпендикулярна большой оси, то угловой коэффициент k уравнения хорды будет равен -b/a, где a и b - полуоси эллипса. Так как через левый фокус проходит данная хорда, то она проходит и через точку f(-c,0), где c - расстояние от центра эллипса до фокуса.

Подставляем координаты точки и уравнение касательной в уравнение эллипса:
(9c^2 + 25*0)/(225) = 1
9c^2 = 225
c = 5

Таким образом, уравнение данной хорды: y = -x/5

Найдем уравнение касательных к эллипсу в точках пересечения эллипса и хорды.
Пусть точки пересечения это точки A и B. Так как хорда перпендикулярна большой оси, то точки пересечения будут лежать на одной из осей. Предположим, что нужно найти касательные в точках пересечения эллипса и хорды для точки A. Тогда координаты точки A будут (a, k*a + b), где a - координата x точки A.

Уравнение касательной в точке A имеет вид:
92a/225 + 25(2ka + b)/225 = 1
a/25 + 2ka/9 + 25b/225 = 1
a/25 + 2ka/9 + b/9 = 1
a/25 + b/9 = 1 - 2ka/9

Таким образом, уравнение касательной в точке A к эллипсу и хорде будет иметь следующий вид:
25y = 9x - 125

Аналогично, уравнение касательной в точке B будет иметь вид:
25y = 9x + 125