Докажите неравенство (2-3a)(2+3a)<8+(4-a)²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Распишем левую часть неравенства:

(2-3a)(2+3a) = 4 + 6a - 6a - 9a² = 4 - 9a²

Теперь распишем правую часть неравенства:

8 + (4-a)² = 8 + 16 - 8a + a² = 24 - 8a + a²

Таким образом, нам нужно доказать неравенство:

4 - 9a² < 24 - 8a + a²

Перенесем все члены в одну сторону:

9a² + a² - 8a - 20 < 0

Сгруппируем подобные члены:

10a² - 8a - 20 < 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 10a² - 8a - 20 = 0:

a = (-(-8) ± √((-8)² - 410(-20))) / (2*10)
a = (8 ± √(64 + 800)) / 20
a = (8 ± √864) / 20
a = (8 ± 24) / 20

a₁ = (8 + 24) / 20 = 32 / 20 = 1.6
a₂ = (8 - 24) / 20 = -16 / 20 = -0.8

Теперь проведем исследование знаков на интервалах (-∞, -0.8), (-0.8, 1.6) и (1.6, +∞):

Для удобства обозначим f(a) = 10a² - 8a - 20

Подставим a = -1:

f(-1) = 10(-1)² - 8(-1) - 20 = 10 + 8 - 20 = -2

Подставим a = 0:

f(0) = 100² - 80 - 20 = -20

Подставим a = 1:

f(1) = 101² - 81 - 20 = 10 - 8 - 20 = -18

Таким образом, неравенство 10a² - 8a - 20 < 0 выполняется на интервалах (-∞, -0.8) и (1.6, +∞).

Ответ: неравенство (2-3a)(2+3a) < 8 + (4-a)² верно для всех значений a из интервала (-∞, -0.8) и (1.6, +∞).