Алгебра Системы уравнений Найдите все значения параметра k, при котором прямые 3x+2ky=1 и 3(k-1)x-ky=1
а) пересекаются в одной точке; б) совпадают; в) не имеют общих точек.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для того, чтобы прямые пересекались в одной точке, их система должна иметь единственное решение. Это возможно, когда прямые не параллельны и не совпадают.

Прямые даны в виде уравнений:
1) 3x + 2ky = 1
2) 3(k-1)x - ky = 1

Преобразуем уравнения:
1) y = (-3/2k)x + 1/2
2) y = (3(k-1)/k)x - 1/k

Прямые пересекаются в одной точке, если их угловые коэффициенты не равны:
-3/2k ≠ 3(k-1)/k

-3/2k ≠ 3(k-1)/k
-3k ≠ 6(k-1)
-3k ≠ 6k - 6
3k = 6
k = 2

Ответ: при k = 2 прямые пересекаются в одной точке.

б) Прямые совпадают, если у них равны угловые коэффициенты и свободные члены.

Уравнения прямых из пункта (а):
1) y = (-3/4)x + 1/2
2) y = (3)x - 1

Для того, чтобы прямые совпадали, должно выполняться условие:
-3/2k = 3(k-1)/k и 1/2 = -1/k

-3/2k = 3(k-1)/k
-3k = 6(k-1)
-3k = 6k - 6
3k = 6
k = 2

1/2 = -1/k
1/2 = -1/2
при k = 2

Ответ: при k = 2 прямые совпадают.

в) Прямые не имеют общих точек, если они параллельны и не совпадают. Прямые не имеют общих точек, если их угловые коэффициенты равны, но свободные члены различны.

Угловые коэффициенты прямых:
-3/2k = 3(k-1)/k
-3k = 6(k-1)
-3k = 6k - 6
3k = 6
k = 2

Подставим k = 2 в уравнения прямых:
1) y = -3/x + 1/2
2) y = 3x - 1

Прямые не имеют общих точек, так как их угловые коэффициенты равны, но свободные члены разные.

Ответ: при k = 2 прямые не имеют общих точек.