Найти объем, полученный путем вращения вокруг прямой y=-p фигуры, ограниченной параболой y^2=2px и прямой x=0,5p Найти объем, полученный путем вращения вокруг прямой y=-p фигуры, ограниченной параболой y^2=2px и прямой x=0,5p

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения параболы и прямой:

y^2 = 2px
p^2 = 2px
x = p/2

Таким образом, точки пересечения - (p/2,p) и (p/2,-p).

Объем, полученный вращением фигуры вокруг оси y=-p, можно найти с помощью интеграла объема методом кольцевого слоя:

V = ∫[a,b] π[(R1)^2 - (R2)^2] dx

где a = p/2, b = 0,5p, R1 - внешний радиус, R2 - внутренний радиус.

R1 = p + x
R2 = -p

V = ∫[p/2,0.5p] π[(p+x)^2 - p^2] dx
V = ∫[p/2,0.5p] π[x^2 + 2px] dx
V = π[x^3/3 + px^2] | от p/2 до 0.5p
V = π[(p^3/24 + p^3/8) - (p^3/48 + p*p^2/4)]
V = π[p^3/24 + p^3/8 - p^3/48 - p^3/4]
V = π[p^3/24 + 3p^3/48 - 6p^3/48 - 12p^3/48]
V = π[-p^3/8]

Итак, объем, полученный вращением фигуры вокруг прямой y=-p, равен -πp^3/8.