Нужно с подробным решением Докажите что модуль суммы любого числа слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим модуль суммы любого числа слагаемых. Пусть у нас есть числа a1, a2, ..., an, тогда модуль их суммы можно записать как |a1 + a2 + ... + an|.

Теперь определим сумму модулей этих слагаемых. Сумма модулей будет равна |a1| + |a2| + ... + |an|.

Для доказательства неравенства |a1 + a2 + ... + an| <= |a1| + |a2| + ... + |an| воспользуемся неравенством треугольника для модулей. Неравенство треугольника для модулей утверждает, что для любых чисел x и y выполнено неравенство |x + y| <= |x| + |y|.

Применим это неравенство поочередно для всех слагаемых. Начнем с двух слагаемых:
|a1 + a2| <= |a1| + |a2|
Теперь добавим третье слагаемое:
|a1 + a2 + a3| <= |a1 + a2| + |a3| <= (|a1| + |a2|) + |a3|
Продолжим этот процесс для всех слагаемых и получим:
|a1 + a2 + ... + an| <= |a1| + |a2| + ... + |an|

Таким образом, модуль суммы любого числа слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых.