Добрый вечер! Нужно найти общее решение дифференциального уравнения: y''+2*y'-24*y=6*cos(3*x)-33*sin(3*x) y''+2*y'-24*y=6*cos(3*x)-33*sin(3*x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения сначала найдем его характеристическое уравнение.

Исходное уравнение: y'' + 2y' - 24y = 6cos(3x) - 33sin(3x)

Характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

r^2 + 2r - 24 = 0

Для нахождения корней решим это уравнение:

(r + 6)(r - 4) = 0

r1 = -6, r2 = 4

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y(x) = c1 e^(-6x) + c2 e^(4x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Ищем его в виде:

y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x)

y'(x) = -3Asin(3x) + 3Bcos(3x)
y''(x) = -9Acos(3x) - 9Bsin(3x)

Подставляем это в исходное уравнение и находим коэффициенты A и B:

-9Acos(3x) - 9Bsin(3x) + 2(-3Asin(3x) + 3Bcos(3x)) - 24(Acos(3x) + Bsin(3x)) = 6cos(3x) - 33sin(3x)

(-9A + 6 - 24A)cos(3x) + (-9B + 6 - 24B)sin(3x) = 6cos(3x) - 33sin(3x)

(-33A)cos(3x) + (-33B)sin(3x) = 6cos(3x) - 33sin(3x)

Сравниваем коэффициенты при cos(3x) и sin(3x):

-33A = 6
-33B = -33

A = -6/33 = -2/11
B = 33/33 = 1

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y(x) = -2/11cos(3x) + sin(3x)

Итоговое общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = y(h) + y(p) = c1 e^(-6x) + c2 e^(4x) - 2/11cos(3x) + sin(3x)