Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения сначала найдем его характеристическое уравнение.
Исходное уравнение: y'' + 2y' - 24y = 6cos(3x) - 33sin(3x)
Характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
r^2 + 2r - 24 = 0
Для нахождения корней решим это уравнение:
(r + 6)(r - 4) = 0
r1 = -6, r2 = 4
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x) = c1 e^(-6x) + c2 e^(4x)
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Ищем его в виде:
y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x)
y'(x) = -3Asin(3x) + 3Bcos(3x)y''(x) = -9Acos(3x) - 9Bsin(3x)
Подставляем это в исходное уравнение и находим коэффициенты A и B:
-9Acos(3x) - 9Bsin(3x) + 2(-3Asin(3x) + 3Bcos(3x)) - 24(Acos(3x) + Bsin(3x)) = 6cos(3x) - 33sin(3x)
(-9A + 6 - 24A)cos(3x) + (-9B + 6 - 24B)sin(3x) = 6cos(3x) - 33sin(3x)
(-33A)cos(3x) + (-33B)sin(3x) = 6cos(3x) - 33sin(3x)
Сравниваем коэффициенты при cos(3x) и sin(3x):
-33A = 6-33B = -33
A = -6/33 = -2/11B = 33/33 = 1
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
y(x) = -2/11cos(3x) + sin(3x)
Итоговое общее решение дифференциального уравнения:
y(x) = y(h) + y(p) = c1 e^(-6x) + c2 e^(4x) - 2/11cos(3x) + sin(3x)
Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения сначала найдем его характеристическое уравнение.
Исходное уравнение: y'' + 2y' - 24y = 6cos(3x) - 33sin(3x)
Характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
r^2 + 2r - 24 = 0
Для нахождения корней решим это уравнение:
(r + 6)(r - 4) = 0
r1 = -6, r2 = 4
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x) = c1 e^(-6x) + c2 e^(4x)
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Ищем его в виде:
y(x) = Acos(3x) + Bsin(3x)
y'(x) = -3Asin(3x) + 3Bcos(3x)
y''(x) = -9Acos(3x) - 9Bsin(3x)
Подставляем это в исходное уравнение и находим коэффициенты A и B:
-9Acos(3x) - 9Bsin(3x) + 2(-3Asin(3x) + 3Bcos(3x)) - 24(Acos(3x) + Bsin(3x)) = 6cos(3x) - 33sin(3x)
(-9A + 6 - 24A)cos(3x) + (-9B + 6 - 24B)sin(3x) = 6cos(3x) - 33sin(3x)
(-33A)cos(3x) + (-33B)sin(3x) = 6cos(3x) - 33sin(3x)
Сравниваем коэффициенты при cos(3x) и sin(3x):
-33A = 6
-33B = -33
A = -6/33 = -2/11
B = 33/33 = 1
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
y(x) = -2/11cos(3x) + sin(3x)
Итоговое общее решение дифференциального уравнения:
y(x) = y(h) + y(p) = c1 e^(-6x) + c2 e^(4x) - 2/11cos(3x) + sin(3x)