Разложить функцию в ряд Маклорена, указав область сходимости. f(x)=sin x^2 Разложить функцию в ряд Маклорена, указав область сходимости.
f(x)=sin x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для разложения функции f(x)=sin x^2 в ряд Маклорена сначала найдем производные этой функции:
f'(x) = 2xcos(x^2)
f''(x) = 2cos(x^2) - 4x^2sin(x^2)
f'''(x) = -8xcos(x^2) - 12xsin(x^2)
f''''(x) = -20cos(x^2) + 24x^4*sin(x^2)

Теперь найдем значения этих производных в точке x=0, так как разложение в ряд Маклорена происходит вокруг нулевой точки:
f(0) = sin(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = 2
f'''(0) = 0
f''''(0) = -20

Таким образом, ряд Маклорена для функции f(x)=sin x^2 будет иметь вид:
sin(x^2) = 0 + 0x + 2x^2/2! + 0x^3/3! - 20x^4/4! + ...

Область сходимости данного ряда Маклорена будет в радиусе сходимости функции sin(x), то есть область сходимости будет всей числовой прямой (-∞, ∞).