А)cos^2x-sinx=√2sin(x+pi/4) Б)определите какие из его корней принадлежат отрезку [-4pi;-pi/2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала решим уравнение:

cos^2x - sinx = √2sin(x + π/4)

cos^2x - sinx = √2(sinxcos(π/4) + sin(π/4)cosx)

cos^2x - sinx = √2(sinxcos(π/4) + cos(π/4)sinx)

cos^2x - sinx = √2(sin(x + π/4))

cos^2x - sinx = √2sinx√2cosx

cos^2x - sinx = 2sinxcosx

cos^2x - sinx = sin2x

cos^2x - 2sinx = 0

cosx(cosx - 2sinx) = 0

cosx * (cos(x) - 2sin(x)) = 0

cos(x) = 0 или cos(x) = 2sin(x)

На интервале [-4π; -π/2] синус и косинус имеют отрицательные значения. Поэтому один из корней уравнения сosx=0 - π, или 180 градусов, который входит в данный отрезок.

Для уравнения sin x = cos x/2:

sin x = cos x/2

√(1 - cos² x) = cos x/2

1 - cos² x = cos² x/4

4 - 4cos² x = cos² x

5cos² x = 4

cos² x = 4/5

cos x = ±2/√5

Т.к. cos x будет негативной в нашем отрезке, то корень с -2/√5 подходит. Мы нашли все корни уравнения.

Ответ: π, -2π/√5.