При каждом n найдите сумму: 4n(4n-1)-(4n-2)(4n-3)+(4n-4)(4n-5)-.....4×3-2-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для данного уравнения нам необходимо заметить закономерность и составить формулу.

4n(4n-1) - (4n-2)(4n-3) + (4n-4)(4n-5) - ... - 43 - 21

Можно заметить, что каждый член в скобках представляет собой разность квадратов двух соседних четных чисел.

Таким образом, данное уравнение можно переписать следующим образом:

(4n)^2 - (4n-2)^2 + (4n-4)^2 - ... - 4^2 + 2^2

Это представляет собой сумму членов арифметической прогрессии с разностью -4, начиная с (4n)^2 и заканчивая 2^2.

Для нахождения суммы данной прогрессии используем формулу суммы арифметической прогрессии:

S = ((a1 + an)*n)/2

Где a1 - первый член прогрессии (4n)^2, аn - последний член прогрессии (2)^2.

Таким образом, сумма данной прогрессии будет:

S = ((16n^2 + 4)*n)/2 = (16n^3 + 4n)/2 = 8n^3 + 2n.

Таким образом, сумма 4n(4n-1)-(4n-2)(4n-3)+(4n-4)(4n-5)-.....4×3-2-1 равна 8n^3 + 2n.