Прошу помочь с геометрией Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а их длины равны a. Найдите косинус угла, образованного плоскостью боковой грани с плоскостью основания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нарисуем треугольник, образованный боковой гранью пирамиды, высотой и основанием:

[
\begin{array}{l}
\text{ A} \
\text{ / | \ } \
\text{ / | \ } \
\text{C———|———B} \
\text{ \ \ | /} \
\text{ \ |/} \
\text{ D}
\end{array}
]

В данном случае, A, B, C, D - вершины треугольника. Поскольку боковые ребра пирамиды перпендикулярны и равны, то треугольник ABC - равнобедренный. Также из условия задачи известно, что CD - высота пирамиды, а AC - полудиагональ основания пирамиды.

Посчитаем косинус угла, образованного плоскостью боковой грани и плоскостью основания, с помощью теоремы косинусов.
Заметим, что угол DAC - прямой, тогда можно записать:
[ \cos(\angle CAD) = \frac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot CD} ]

Так как AC = BD = a (так как BD - основание пирамиды, а CD - ее высота), то
[ \cos(\angle CAD) = \frac{a^2 + a^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot a} = \frac{2a^2 - a^2}{2a^2} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} ]

Получаем, что косинус угла равен 1/2.