Задача на отбор корней (с тригонометрией). Найдите корень уравнения 4sin(π/3-x)cos(x)=√3, при котором выражение 2x^2+x-3 принимает наименьшее значение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

4sin(π/3-x)cos(x) = √3
sin(π/3-x)cos(x) = √3/4
(sin(π/3)cos(x) - cos(π/3)sin(x)) = √3/4
(√3/2cos(x) - 1/2sin(x)) = √3/4
√3/2cos(x) - 1/2sin(x) = √3/4
cos(x-π/6) = √3/4
x-π/6 = ± π/6 + 2πn, где n - целое число
x = π/3 + πn, x = π/2 + πn

Теперь найдем значение выражения 2x^2+x-3 при x=π/3 + πn и x=π/2 + πn:

При x=π/3 + πn:
2(π/3 + πn)^2 + π/3 + πn - 3 =
2(π^2/9 + 2π^2n/3 + π^2n^2) + π/3 + πn - 3 =
2π^2/9 + 4π^2n/3 + 2π^2n^2 + π/3 + πn - 3 =
(2π^2/9 + π/3 - 3) + (4π^2n/3 + πn) + 2π^2n^2 =
2π^2/9 + π/3 - 9/3 + 4π^2n/3 + πn + 27/3 + 2π^2n^2 =
2π^2/9 + 4π^2n/3 + 2π^2n^2 + π/3 + πn - 3 = 2π^2/9 + 4π^2n/3 + 2π^2n^2 + π/3 + πn - 3

При x=π/2 + πn:
2(π/2 + πn)^2 + π/2 + πn - 3 =
2(π^2/4 + π^2n + π^2n^2) + π/2 + πn - 3 =
π^2/2 + 2π^2n + 2π^2n^2 + π/2 + πn - 3 =
(π^2/2 + π/2 - 3) + (2π^2n + πn) + 2π^2n^2 =
π^2/2 + π/2 - 6/2 + 2π^2n + πn + 27/2 + 2π^2n^2 =
2π^2/9 + 4π^2n/3 + 2π^2n^2 + π/3 + πn - 3 = 2π^2/9 + 4π^2n/3 + 2π^2n^2 + π/3 + πn - 3

Таким образом, значение выражения 2x^2+x-3 не зависит от значения x и всегда равно -3.

Ответ: значение выражения 2x^2+x-3 не зависит от корня уравнения 4sin(π/3-x)cos(x)=√3 и всегда равно -3.