Задача на нахождение корней (в радианах). Найти корни уравнения 2 ( sin(x+30°)+cos(x+60°) )^2=1+2sin^2 (x), удовлетворяющие неравенству x^2-2πx<=0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала приведем уравнение к более удобному виду:

( sin(x+30°) + cos(x+60°) )^2 = 1 + 2sin^2(x)
(sin(x+30°))^2 + 2sin(x+30°)cos(x+60°) + (cos(x+60°))^2 = 1 + 2sin^2(x)
(sin^2(x) + cos^2(x) + 2sin(x)cos(x)) + 2sin(x+30°)cos(x+60°) = 1 + 2sin^2(x)
1 + sin(2x) + 2sin(x+30°)cos(x+60°) = 1 + 2sin^2(x)
sin(2x) + 2sin(x+30°)cos(x+60°) = 2sin^2(x)

Далее, применим формулу для выражения произведения синуса и косинуса:
sin(a)cos(b) = 1/2 (sin(a+b) + sin(a-b))

sin(2x) + sin(x+30° + x+60°) + sin(x+30° - x-60°) = 2sin^2(x)
sin(2x) + sin(2x + 90°) + sin(90°) = 2sin^2(x)
sin(2x) + sin(2x + 90°) + 1 = 2sin^2(x)

Теперь можем решить уравнение и найти корни в радианах. После этого проверяем выполнение условия неравенства x^2-2πx≤0.