Исследовать функцию на непрерывность . указать характер разрыва А) y=(1-cos8x)/(2x^2)
б) y=2^(4x/x+3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1)Функции 1-cos8x и 2x^2 непрерывны и, кроме того, 2x^2 не равно 0 везде кроме точки x=0. Значит, (1-cos8x)/(2x^2) непрерывна во всех точках множества R\{0}.

Исследуем ее в 0.

1-cos8x=(sin4x)^2

Тогда предел при x->0 (1-cos8x)/(2x^2) = пределу при x->0 ((sin4x)^2)/(2x^2) = пределу при x->0 8((sin4x)/(4x))^2.

Так как предел при x->0 (sin4x)/(4x) равен 1, то предел при x->0 8((sin4x)/(4x))^2 равен 8*(1^2). Следовательно, в 0 устранимый разрыв.

2)4x и x+3 непрерывны, и, кроме того, x+3 не равно 0 везде кроме точки x=-3. Значит, (4x)/(x+3) непрерывна во всех точках множества R\{-3}.

2^x - всюду непрерывная функция, значит 2^((4x)/(x+3)) непрерывна всюду на R\{-3} как композиция непрерывных функций.

Исследуем ее в точке -3.

Так как предел слева при x->-3 функции (4x)/(x+3) равен -∞, а предел при x->-∞ функции 2^x равен 0, то предел слева при x->-3 функции 2^((4x)/(x+3)) равен 0.

Так как предел справа при x->-3 функции (4x)/(x+3) равен +∞, а предел при x->+∞ функции 2^x равен +∞, то предел справа при x->-3 функции 2^((4x)/(x+3)) равен +∞.

Получаем, что один из односторонних пределов бесконечный, значит, x=-3 - точка разрыва 2 рода.