Провести полное исследование функции и построить график этой функции y=1-x/x²+1. Можно поподробнее ещё объяснить как это всё делать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для проведения полного исследования функции y=1-x/x^2+1, мы можем применить следующие шаги:

Найдем область определения функции:
Деление на ноль не допускается, поэтому знаменатель x^2 + 1 не может равняться нулю. Это означает, что x^2 ≠ -1, или x ∈ R (все вещественные числа).

Найдем область значений функции:
Функция y=1-x/x^2+1 может принимать любые значения, кроме единицы (y ≠ 1).

Найдем производную функции:
Для этого возьмем производную от y по x. y' = (d/dx) (1 - x/(x^2 + 1))
y' = 0 - ((x^2 + 1) - x(-3)x)/(x^2 + 1)^2
y' = (2x^2 + 1)/(x^2 + 1)^2
Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 2x^2 + 1 = 0
x^2 = -1/2, что невозможно, следовательно, экстремумов у функции нет.

Найдем точки перегиба функции: для этого возьмем вторую производную:
y'' = (d^2/dx^2) (1 - x/(x^2 + 1))
y'' = 2(x^2 + 1)^2 - 2(x*(2x))/(x^2 + 1)^2 = 2(x^4 +2x^2 + 1 - 2x^2)/ (x^2+1)^2 = 2x^4 -2/ (x^2+1)^2.
Найдем, приравняв вторую производную функции к нулю 2x^4 -2 = 0 (x^4 = 1), x = 1
Вторая производная равна 0 в точке x = 1, что говорит о том, что функция имеет точку перегиба в этой точке.

Нарисуем график функции:
Для построения графика можно использовать специальные программы, такие как Mathplotlib в Python или онлайн-сервисы же Desmos. График позволит наглядно увидеть форму и поведение функции y=1-x/x^2+1 в заданных интервалах.

Полученный график позволит лучше понять характер изменения функции и выделить особенности ее поведения, такие как точка перегиба, область возрастания и убывания и т.д.