Аналитическая геометрия. Парабола Фокальная хорда видна из точки M0((22√3 + 33)/12; 0) под углом 2π/3. Найти фокальный параметр p.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим координаты фокусов параболы как F1(a, 0) и F2(-a, 0), а координаты точки M0 как (x, y).

Так как фокальная хорда видна из точки M0 под углом 2π/3, то угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0 и точку пересечения хорды с параболой, равен tg(π/3) = sqrt(3). Следовательно, уравнение прямой M0M' будет иметь вид:

(y - 0) / (x - [(a - a) / 2]) = sqrt(3),
y / (x - a/2) = sqrt(3),
y = sqrt(3)(x - a/2).

Также известно, что уравнение параболы имеет вид y^2 = 2px. Точка пересечения фокальной хорды с параболой будет находиться на обоих прямых, и потому удовлетворять обоим уравнениям. Подставляем выражение y и координату x в уравнение параболы:

(sqrt(3)(x - a/2))^2 = 2p(x),
3(x^2 - ax + a^2/4) = 2px,
3x^2 - 3ax + 3a^2/4 = 2px,
3x^2 - 3ax + 3a^2/4 - 2px = 0.

Заметим, что точки M0 и пересечения хорды с параболой находятся на этой прямой, и потому удовлетворять этому уравнению. Таким образом, x - ((a - a)/2) = (22√3 + 33)/12, или

x - a/2 = (22√3 + 33)/12,
x = a/2 + (22√3 + 33)/12,
x = (6a + 22√3 + 33) / 12.

Подставляем x в уравнение параболы:

3((6a + 22√3 + 33) / 12)^2 - 3a((6a + 22√3 + 33) / 12) + 3a^2/4 - 2p((6a + 22√3 + 33) / 12) = 0,
(9a^2 + 264a√3 + 1212 + 3960 + 1452√3 + 2169)/144 - 18a^2/12 + 3a^2/4 - 2p(6a + 22√3 + 33)/12 = 0,
(9a^2 + 396 + 24a^2/3 + 3a^2/4 - 6a^2 + 264a√3 - 72a^2√3 + 384√3 + 1452√3 + 264c√3 - 144p - 264√3p - 396p)/144 = 0,

Складываем все члены и умножаем на 144:

1440 + 480a^2 + 36a^2 - 72a^2 + 240√3a - 38√3a + 1704√3 + 264a√3 - 72a^2√3 - 396p - 264p - 144p = 0,
3648 + 384a^2 - 436a^2 - 154p = 0,
384a^2 - 436a^2 - 154p = -3648,
-52a^2 - 154p = -3648,
26a^2 + 77p = 1824.

Так как a = |a| (так как фокус на параболе находится правее, чем нажая точка M0), то a = (22√3 + 33)/12. Тогда подставим значение a в уравнение:

26((22√3 + 33)^2 / 144) + 77p = 1824,
(26 726 + 26 1089) / 144 + 77p = 1824,
(18876 + 28314) / 144 + 77p = 1824,
77p = 130236 / 144 - 28314 / 144,
77p = 945,
p = 945 / 77 = 135 / 11.

Таким образом, фокальный параметр параболы p равен 135 / 11.