Физика. Механика. Задача для второго курса Определить закон движения свободно падающей капли дождя, если сопротивление воздуха описывается законом Fr = αν², где ν - абсолютная величина скорости капли в данный момент времени. Через какое время скорость капли можно считать постоянной?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся вторым законом Ньютона:

m*a = mg - F(с),

где m - масса капли, g - ускорение свободного падения, F(с) - сила сопротивления воздуха, α - коэффициент сопротивления.

С учетом того, что a = dv/dt и F(с) = αν², уравнение примет вид:

m*dv/dt = mg - αν².

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения выполним преобразование:

mdv/dt = mg - αν²,
dv/dt = (g - α/mν²)dt.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫dv = ∫(g - α/mν²)dt,
v = gt - α/m(1/3)ν³ + C,

где C - постоянная интегрирования. Для нахождения ее воспользуемся начальными условиями задачи. Поскольку в начальный момент времени скорость капли была равна 0, то С = 0.

Таким образом, закон движения свободно падающей капли дождя будет иметь вид:

v = gt - α/m*(1/3)ν³,

где ν - скорость капли в данный момент времени.

Чтобы определить, через какое время скорость капли можно считать постоянной, нужно найти такой момент времени, при котором ускорение равно 0:

dv/dt = 0,
g - α/mν² = 0,
ν² = mg/α.

Через время, когда это условие выполняется, скорость капли можно считать постоянной.