Сложная задача по физике Груз массой m=0,5 кг, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой
k=0,5 Н/м, помещен в масло. Коэффициент трения в масле r=0,5 кг/с. На верхний
конец пружины действует вынуждающая сила, меняющаяся по закону
F(t)=1·sin(ω·t) Н. При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных
колебаний будет максимальна? Силой Архимеда пренебречь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение движения груза в масле с учетом действующих на него сил.

Уравнение движения будет иметь вид:

mx''(t) + rx'(t) + k*x(t) = F(t)

где x(t) - смещение груза от его положения равновесия в момент времени t, x'(t) - скорость груза, x''(t) - ускорение груза, F(t) - действующая на груз сила.

Подставляем известные значения и перепишем уравнение:

0,5x''(t) + 0,5x'(t) + 0,5x(t) = 1sin(ω*t)

Теперь решим это дифференциальное уравнение, предполагая x(t) = Asin(ωt + φ), где A - амплитуда колебаний, а φ - начальная фаза.

Подставляем это в уравнение и находим A:
-0,5Aω^2sin(ωt + φ) + 0,5Aωsin(ωt + φ) + 0,5Asin(ωt + φ) = 1sin(ωt)
-0,5Aω^2 + 0,5Aω + 0,5A = 1
A(-0,5ω^2 + 0,5ω + 0,5) = 1
A = 1/(0,5ω^2 - 0,5*ω - 0,5)

Амлитуда колебаний будет максимальна, если знаменатель в выражении для A минимален. Для этого решим уравнение:

0,5ω^2 - 0,5ω - 0,5 = 0

Найдем корни этого уравнения:

ω = (-(-0,5) ± √((-0,5)^2 - 40,5(-0,5))) / (2*0,5)
ω = (0,5 ± √0,25 + 1) / 1
ω = (0,5 ± √1,25) / 1
ω = 0,5 ± √1,25

Подставляем найденные значения в выражение для A и выбираем значение ω, при котором A будет максимальна.