Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной l на втором энергетическом уровне. Определить вероятность обнаружения частица в пределах от 0 до l/3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Вероятность обнаружения частицы в заданном интервале определяется как квадрат модуля коэффициента разложения волновой функции частицы в этом интервале.

Поскольку частица находится на втором энергетическом уровне в бесконечно глубокой потенциальной яме, волновая функция частицы будет иметь вид:

ψ(x) = A * sin(2πx/l)

где A - нормировочный коэффициент.

Для определения коэффициента A, необходимо найти нормировку волновой функции:

∫|ψ(x)|^2 dx = 1

∫(A^2 sin^2(2πx/l)) dx = A^2 ((x/2) - (l/(4π)) * sin(4πx/l))|_0^l = 1

A^2 ((l/2) - (l/(4π)) sin(4π)) = 1

A^2 * (l/2) = 1

A^2 = 2/l

A = √(2/l)

Теперь найдем коэффициент разложения волновой функции в пределах от 0 до l/3:

C = ∫[0,l/3] ψ(x) dx = ∫[0,l/3] (√(2/l) * sin(2πx/l)) dx

C = √(2/l) ((-l/(2π)) cos(2πx/l))|_0^(l/3)

C = √(2/l) (-l/(2π)) (cos(2π/3) - cos(0))

C = √(2/l) (-l/(2π)) (-1/2 - 1)

C = √(2/l) * l/(2π)

C = 1/(π√l)

Вероятность обнаружения частицы в пределах от 0 до l/3 равна квадрату модуля коэффициента C:

P = |C|^2 = (1/(π√l))^2 = 1/(π^2 * l)