В трапеции, описанной около окружности, острые углы при основании равны [tex]\alpha и \beta[/tex]. Найдите радиус окружности, если площадь трапеции равна S

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь трапеции можно найти суммированием площадей двух треугольников и квадрата, образованного диагональю трапеции
S = S1 + S2 + (d1*d2)/2

Где S1 и S2 - площади треугольников, d1 и d2 - длины диагоналей трапеции.

Для нахождения радиуса окружности r воспользуемся формулой, связывающей радиус окружности и стороны равнобедренного треугольника
r = h^2/(2 * h1)

где h - высота равнобедренного треугольника из центра окружности к основанию трапеции, h1 - основание равнобедренного треугольника.

Площадь S равно половине произведения диагоналей трапеции, умноженной на высоту h
S = (d1 d2 h) / 2

Таким образом, радиус окружности r равен
r = d1 * d2 / 4h

Из формул для площади и радиуса окружности можно составить уравнения
S = (d1 d2 h) /
r = d1 * d2 / 4h

Подставим выражение для r в уравнение для S и найдем h
S = (d1 d2 h) /
h = d1 * d2 / 4r

Подставим найденное значение h в уравнение для площади S и найдем d1 d2
S = (d1 d2 (d1 d2 / 4r)) /
S = (d1^2 * d2^2) / 8r

Таким образом, d1 d2 = 2 sqrt(2 r S).

Теперь найдем диагонали d1 и d2 через углы а и б, зная, что они равны. Найдем угол g, противоположный меньшему углу a
g = (180 - a) /
g = (180 - b) / 2

d1 = 2r sin(g
d2 = 2r sin(g)

Подставим найденное значение d1 d2 в формулу и найдем r
S = (4r^2 sin(g) cos(g)) / 8
S = r sin(2g)

r = S / sin(2g)

Таким образом, радиус окружности r равен S / sin(2g).