В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30◦. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) площадь полной поверхности пирамиды.
С чертежом.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим данную пирамиду:

ABCD - основание пирамиды, AB = BC = CD = DA = 8 см

E - вершина пирамиды

AC = BD - боковое ребро

h - высота пирамиды

Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусам. Обозначим это как угол AED.

Так как в пирамиде ABCDE угол DAE = 90 градусов, то угол AED = 180 - 90 - 30 = 60 градусов.

Так как треугольник AED - прямоугольный и угол AED = 60 градусов, то мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения сторон пирамиды.

a) Найдем высоту пирамиды h:

tan(30) = h / (AC/2)
h = (AC/2) tan(30)
h = 4 tan(30)
h ≈ 2.31 см

b) Найдем боковое ребро AC = BD:

sin(30) = h / AC
AC = h / sin(30)
AC = 2.31 / sin(30)
AC ≈ 4.62 см

c) Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

S = S_основания + S_боковой_поверхности
S = 4 (sqrt(3)/4 8^2) + 4 (1/2 AC h)
S = 4 16 sqrt(3) + 4 (1/2 4.62 2.31)
S = 64 sqrt(3) + 4.62 2.31
S ≈ 305.81 см^2

Ответ:
а) Высота пирамиды h ≈ 2.31 см
б) Боковое ребро AC ≈ 4.62 см
в) Площадь полной поверхности пирамиды S ≈ 305.81 см^2