В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Найдите площадь треугольника, если угол A=60 градусов, BD=4 см, СЕ= 6 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано:
Угол A = 60 градусов,
BD = 4 см,
CE = 6 см.

Первым шагом найдем площадь треугольника ABC через стороны и угол между ними по формуле:
S = 0.5 a b * sin(C),
где a и b - стороны треугольника ABC, а C - угол между ними.

Так как нам даны высоты треугольника BD и CE, то можем заметить, что BD и CE являются биссектрисами угла A. Таким образом, треугольник ABC разбивается на два равнобедренных треугольника ABD и AEC, где сторона AC является общей стороной.

Площади этих двух равнобедренных треугольников равны, так как высоты BD и CE равны. Значит, S_ABD = S_AEC.

Площадь треугольника ABD равна:
S_ABD = 0.5 AB BD sin(A) = 0.5 AB 4 sin(60) = 2 AB (√3 / 2) = AB * √3.

Площадь треугольника AEC равна:
S_AEC = 0.5 AC CE sin(A) = 0.5 AC 6 sin(60) = AC * 3.

Таким образом, S_ABD = S_AEC, AB √3 = AC 3.

Отсюда получаем AB:AC = 3:√3 = √3:1 = √3.

Теперь обратимся к треугольнику ABC.
По теореме синусов:
AC / sin(B) = BC / sin(A) => AC / sin(B) = BC / sin(60) => BC = (AC * sin(60)) / sin(B).

Вспоминаем, что AB = √3 AC и BC = (AC sin(60)) / sin(B), и так как BC = 2 AC, получаем:
√3 AC + (AC sin(60)) / sin(B) = 2 AC.

Далее решаем уравнение относительно sin(B):
√3 + sin(60) / sin(B) = 2 => sin(60) / sin(B) = 2 - √3 => sin(B) = sin(60) / (2 - √3).

Известно, что sin(60) = √3 / 2, тогда:
sin(B) = (√3 / 2) / (2 - √3) = √3 / (4 - 3) = √3.

Итак, sin(B) = √3.

Так как sin(60) = √3 / 2, получаем снова, что угол B = 60 градусов.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC через стороны и угол между ними:
S = 0.5 AB AC sin(B) = 0.5 (√3 AC) AC √3 = 0.5 3 AC^2 = 1.5 AC^2.

Подставляем из того, что AB = √3 AC:
S = 1.5 (AB^2 / 3) = 0.5 AB^2 = 0.5 (AB AC) = 0.5 BD CE = 0.5 4 * 6 = 12.

Ответ: площадь треугольника ABC равна 12 квадратных сантиметров.