Дано: угол C=90°, угол A : угол B = 4:5, AK- бисектриса
Найти: угол AKB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что угол A делится на два прямые угла в пропорции 4:5. Поэтому у нас есть два треугольника AKC и BKC, в которых угол A делится на две части в пропорции 4:5.

Пусть x - угол A, тогда угол B равен 1,25x.

Так как AK - биссектриса, то отношение сторон AC и BC равно отношению синусов противоположных углов, т.е.

AC / BC = sin(B) / sin(A)

AK / BK = sin(B) / sin(A)

AK / BK = sin(1,25x) / sin(x) = 2 / 1

sin(1,25x) / sin(x) = 2 / 1

sin(1,25x) = 2sin(x)

sin(5x/4) = 2sin(x)

sin(5x)cos(x) - cos(5x)sin(x) = 2sin(x)

5sin(x)cos(x) - 5cos^4(x)sin(x) - 20cos^3(x)sin(x) + 16sin^3(x)cos(x) = 10sin(x)cos(x)

5sin(x)cos(x) - 5cos^4(x)sin(x) - 20cos^3(x)sin(x) + 16sin^3(x)cos(x) - 10sin(x)cos(x) = 0

5sin(x)(cos(x) - 2cos^4(x) - 4cos^3(x) + 3sin^2(x)) = 0

5sin(x)(cos(x)(1 - 2cos^3(x) - 4cos^2(x) + 3sin^2(x)) = 0

sin(x) = 0 или cos(x) = 2cos^3(x) + 4cos^2(x) - 3sin^2(x)

sin(x) = 0 не подходит, т.к. x не равен 0.

cos(x) = 2cos^3(x) + 4cos^2(x) - 3sin^2(x)

Из уравнения следует, что точное значение данного угла найти сложно, и точное значение представить в виде числового выражения невозможно.