В треугольнике ABC стороны AB=4cм, BC=5 cм, BD-биссектриса. Найдите отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину стороны AC треугольника ABC, используя теорему косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos(∠ABC)
AC^2 = 4^2 + 5^2 - 245cos(∠ABC)
AC^2 = 16 + 25 - 40cos(∠ABC)
AC^2 = 41 - 40cos(∠ABC)

Теперь найдем длину отрезка BD, так как BD - биссектриса треугольника ABC, то отрезок AD также равен CD. Пусть AC = x, тогда из теоремы биссектрисы:
BD/AB = DC/BC
BD = ABDC/BC = 4x/(4 + 5) = 4x/9

Найдем теперь площади треугольников ABD и ABC.
Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
S_ABC = sqrt(p(p-AB)(p-BC)(p-AC)), где p - полупериметр.
S_ABC = sqrt((4+5+√(41-40cos(∠ABC))/2)((√(41-40cos(∠ABC))/2 - 4)((√(41-40cos(∠ABC))/2 - 5)√(41-40cos(∠ABC))/2)

Аналогично, площадь треугольника ABD:
S_ABD = sqrt((4 + 4x/9 + √(41 - 40cos(∠ABC))/2)((4x/9 + √(41 - 40cos(∠ABC))/2 - 4)((4x/9 + √(41 - 40cos(∠ABC))/2 - 4x/9)√(41-40cos(∠ABC))/2)

Отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC:
S_ABD/S_ABC = S_ABD/S_ABC = sqrt((4 + 4x/9 + √(41 - 40cos(∠ABC))/2)((4x/9 + √(41 - 40cos(∠ABC))/2 - 4)((4x/9 + √(41 - 40cos(∠ABC))/2 - 4x/9)√(41-40cos(∠ABC))/2) / sqrt(p(p-AB)(p-BC)(p-AC))

Это и будет ответом.