В трапеции ABCD AC-биссектриса угла А делит трапецию на два подобных треугольника ABCD и ACD, AB=9см, CD=12см. Найти площадь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию, треугольники ABC и ACD подобны, поэтому отношение соответствующих сторон равно отношению между высотами, опущенными на эти стороны.

Пусть h1 и h2 - высоты, опущенные на стороны AB и CD соответственно.

Тогда h1 / h2 = AB / CD = 9 / 12 = 3 / 4.

Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ABC и ACD:

S_trap = S_ABC + S_ACD.

S_ABC = 0.5 AB h1 = 0.5 9 (4/3)h2 = 6h2.

S_ACD = 0.5 CD h2 = 0.5 12 h2 = 6h2.

Итак, S_trap = 6h2 + 6h2 = 12h2.

Таким образом, нужно найти значение h2. Для этого можно воспользоваться формулой для площади трапеции через диагонали: S_trap = 0.5 (AC + BD) h2.

Из того, что AC - биссектриса угла A, следует, что треугольники ABC и DAC подобны и следовательно, AC / CD = AB / BD, откуда BD = AB CD / AC = 9 12 / 21 = 4.286 см.

Тогда по формуле для площади трапеции через диагонали:

S_trap = 0.5 (AC + BD) h2, откуда 12h2 = 0.5 (21 + 4.286) h2,

12h2 = 12.643h2.

Поэтому h2 = S_trap / 12.643 = 12.643см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

S_trap = 12 * 12.643 = 151.716 см^2.

Ответ: площадь трапеции равна 151.716 см^2.