8. Точка О - центр квадрата АВСД. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости АВСД. Доказать, что отрезки АМ, ВМ и ДМ равны.
9. В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 20 см, ВС = 24 см. Отрезок МА перпендикулярен плоскости AВС и имеет длину 12 см. Найти расстояние от точки М до прямой ВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку точка О - центр квадрата АВСД, то прямая ОМ проходит через середину отрезка AC (обозначим эту точку как К) и перпендикулярна плоскости АВСД. Так как АО = ОС (как радиусы круга), то треугольник АКО равносторонний. Следовательно, ОК = АК = СК.

Теперь рассмотрим треугольники АМО и МОК. Они равнобедренные, так как АМ = МО (по условию) и ОК = МК (по равенству отрезков в равностороннем треугольнике), соответственно, углы АМО и МОК равны. Таким образом, треугольники АМО и МОК подобны.

Отсюда следует, что АМ/МО = МК/ОМ, то есть АМ/МО = 1/2. Также из подобия треугольников МОК и ВМО мы можем получить, что ВМ/МО = 1/2.

Отсюда следует, что АМ = ВМ. Из равенства отровков ВМ и МО следует, что ВМ = МО. Таким образом, отрезки АМ, ВМ и МО равны.

Построим высоту из точки М на сторону ВС. Пусть она пересекает ВС в точке N.

Так как в треугольнике АВС АВ = АС, то он равнобедренный, следовательно, MN - медиана и высота, исходящая из вершины А. Таким образом, треугольники АМВ и МНВ подобны.

Используя подобие треугольников, можем записать:

AM/MN = VM/VN.

Известно, что AM = 12 см, VM = 12 см, VN = 6 см (так как MN - медиана треугольника АВС, которая делит сторону ВС пополам). Подставляем значения и находим MN:

12/MN = 12/6,
Из этого MN = 6.

Таким образом, расстояние от точки М до прямой ВС равно 6 см.