4. Прямая СД перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника АВС. СК - его высота. Докажите, что прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДКС, если ДА = √(2) см, а ДАК = 45°.
5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, В = 30°. Прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АДС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как прямая СД перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то она перпендикулярна и к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Таким образом, угол ДКС равен 90 градусов, следовательно, прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны.

Чтобы найти расстояние от точки А до плоскости ДКС, можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости:

d = |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²),

где (a, b, c) - коэффициенты уравнения плоскости, проходящей через точки Д, К и С.

Из условия задачи известно, что DA = √(2) см и угол ДАК равен 45 градусов. Таким образом, треугольник ДАК - прямоугольный со сторонами √(2), 1 и гипотенузой √(3).

Теперь можно найти d, используя известные координаты точек Д, К и С.

Обозначим точку пересечения прямых АС и ВД как М. Так как ВД перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то расстояние от точки Д до прямой АС равно расстоянию от точки М до прямой АС.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то точка М делит сторону АС пополам, следовательно, расстояние от точки Д до прямой АС равно 5 см.

Чтобы найти расстояние от точки В до плоскости АДС, можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости, данной в предыдущем пункте. Подставляя координаты точки В и коэффициенты уравнения плоскости АДС, можно найти расстояние от точки В до плоскости АДС.