Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник АВС, в котором
∠C=90∘
, ∠A=30∘
. Высота призмы равна 10 дм. Диагональ боковой грани
с основанием угол, равный 60°. Вычислите объем призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину сторон прямоугольного треугольника ABC. Так как угол A = 30°, то угол B = 60°. Из свойств треугольника с углом 30° мы знаем, что сторона, противоположная углу 30°, равна половине гипотенузы. Пусть гипотенуза треугольника равна с, тогда сторона, противоположенная углу 30°, равна c/2, а сторона, противоположенная углу 60°, равна c*sqrt(3)/2. Таким образом, длины сторон треугольника ABC будут равны:

AB = c*sqrt(3)/2
BC = c/2
AC = c

Так как высота призмы равна 10 дм, то значение c равно 20 дм, т.е. AB = 10*sqrt(3) дм, BC = 10 дм.

Теперь найдем диагональ боковой грани призмы. Пусть длина этой диагонали равна d. Так как угол между диагональю и одной из сторон призмы равен 60°, то можем составить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна d, а прилегающая к углу 60° сторона равна AB, тогда диагональ будет равна:

d = 2AB = 20sqrt(3) дм

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы:

Sб = dh = 20sqrt(3) 10 = 200sqrt(3) дм^2

И объем призмы:

V = Sб h = 200sqrt(3) 10 = 2000 sqrt(3) дм^3

Ответ: объем призмы равен 2000*sqrt(3) кубических дециметров.