В правильной треугольной пирамиде SABC,M - середина ребра AB, S - вершина. Известно, что сторона основания 6, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 24. Найдите длину отрезка SM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину ребра пирамиды как a. Тогда высота пирамиды будет равна SM, и мы можем представить боковую поверхность пирамиды как четыре треугольника SMA, SMB, SMC и SAC.

Поскольку треугольник SAB прямоугольный и AM является медианой, то AM будет равна половине гипотенузы AB. По теореме Пифагора имеем:

(AB)^2 = (2AM)^2 + a^2

a^2 = (AB)^2 - 4(AM)^2

Так как сторона основания пирамиды равна 6, то AB = 6. А площадь боковой поверхности равна 24, то площадь каждого бокового треугольника равна 6. Так как каждый боковой треугольник - равнобедренный, то высота опущенная из вершины S на его основание равны AM. Получаем, что площадь бокового треугольника равна 0.5 a AM = 6. Таким образом:

a * AM = 12

Таким образом, a^2 = 36 - 48 = -12

Так как a - это длина стороны, а не может быть отрицательным, то a = √12

Теперь используем формулу для площади боковой поверхности пирамиды:

S = 0.5 a p

где p - периметр основания. Так как сторона основания равна 6, то p = 24. Подставляем найденное значение a = √12 и S = 24:

24 = 0.5 √12 24

1 = √12

Длина отрезка SM равна AM = √12/2 = √3.