Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника AB как a. Тогда длина стороны AC будет равна 3a.

Так как медиана BM делит сторону AC пополам, то AM = MC = 3a/2. Также, так как биссектриса AP делит угол CAB пополам, то угол C = 2 * угол B (по свойству биссектрисы).

Рассмотрим треугольники ABM и KMB. Они подобны по двум сторонам, так как AM = 3MC. Следовательно, соответствующие стороны будут в одном и том же отношении: KB/BM = AB/AM = a/(3a/2) = 2/3.

Таким образом, мы нашли длину стороны KB — она равна 2a/3.

Чтобы найти площади треугольника ABK и четырехугольника KPCM, нам нужно найти их высоты. Высота треугольника ABK, проведенная к стороне AB, совпадает с медианой BM, а высота четырехугольника KPCM, проведенная к стороне KP, совпадает с биссектрисой AP.

Таким образом, площадь треугольника ABK равна (1/2) a (3a/2) = 3a²/4, а площадь четырехугольника KPCM равна (1/2) (3a/2) (2a/3) = a²/2.

Отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM будет равно (3a²/4) / (a²/2) = 3/2. Таким образом, отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM равно 3:2.