Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=√x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных графиков.

Приравняем уравнения y=x^2 и y=√x
x^2 = √x

Возводим обе части уравнения в квадрат
(x^2)^2 = (√x)^
x^4 = x

Приводим уравнение к виду x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0

x = 0 или x^3 - 1 =
x = 0 или x = 1

Таким образом, точки пересечения графиков y=x^2 и y=√x равны (0,0) и (1,1).

Теперь найдем площадь фигуры между графиками.

Интегрируем разность корней √x и x^2 от 0 до 1
∫(√x - x^2)dx от 0 до 1

∫(x^(1/2) - x^2)dx от 0 до
= [2/3x^(3/2) - x^3] от 0 до
= (2/31^(3/2) - 1^3) - (2/30 - 0) = 2/3 - 1 = 1/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=√x, равна 1/3.