В треугольнике ABC известно, что cos∠B=5/13,‍ cos∠C=4/5.‍ На медианах BM и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках P и Q.‍ Хорда PQ пересекает сторону BC в точке D.‍ Найдите отношение CD/DB.‍

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем угол B и угол C, воспользовавшись формулой косинусов:

cosB = 5/13
cosC = 4/5

Знаем, что в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам, следовательно:

cosA = sqrt(1 - cos^2B - cos^2C) = sqrt(1 - (5/13)^2 - (4/5)^2) = sqrt(1 - 25/169 - 16/25) = sqrt(169/169 - 25/169 - 64/169) = sqrt(80/169) = sqrt(16*5 / 13^2) = 4/13

cosA = 4/13, а значит sinA = sqrt(1 - cosA^2) = sqrt(1 - (4/13)^2) = sqrt(1 - 16/169) = sqrt(153/169) = 13/13 = 1

Косинусы углов и их синусы известны, теперь можем вычислить стороны треугольника ABC:

a/13 = 4/5 => a = 52/5
b/13 = 5/13 => b = 5
c/13 = 4/5 => c = 52/5

Далее, найдем площади медиан BM и CN. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на соответствующую медиану.

Площадь BMCN равна площади треугольника ABC:

S_BMCN = S_ABC = sqrt(p(p-a)(p-b)*(p-c)), где p = (a+b+c)/2

S_BMCN = sqrt((52/5 + 13 + 52/5)/2 (52/5) 13 (52/5)) = sqrt((65 + 13 + 65/5) (52/5) 13) = sqrt((2665/5) (52/5) 13) = sqrt(261352) = sqrt(185213) = 18*13 = 234

Теперь находим площадь треугольника BPC. Если провести медиану в треугольнике, она делит треугольник на два равных по площади треугольника. Значит, S_BPC = S_BMCN / 2 = 234 / 2 = 117

Теперь можем найти CD/DB. Так как PDQ является прямым углом, то треугольники BCP и BDQ подобны.

S_BCP / S_BDQ = CD/DB

S_BPC / S_BDC = CD/DB

117 / S_BDC = CD/DB => CD/DB = 117 / S_BDC

Теперь найдем площадь треугольника BDC:

S_BDC = S_BCP = 117

И получаем CD/DB = 117 / 117 = 1.

Ответ: CD/DB = 1.