В остроугольном треугольнике ABC проведена прямая AN, делящая сторону BC в отношении 2:3, считая от вершины C. Чему равна площадь ABC, если площадь треугольника ABN равна 15?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину отрезка BN через 2x, а отрезка NC через 3x. Тогда длина отрезка AC равна 5x, а длина отрезка AN равна 2x + 5x = 7x.

Площадь треугольника ABN равна 15, а площадь треугольника ABC равна S. Поскольку высота, опущенная из вершины A на сторону BC перпендикулярна этой стороне, то S = S_ABC = S_ABN + S_NBC.

S_ABN = 0.5 AB AN = 0.5 AB 7x = 15, следовательно, AB = 30 / 7x.

S = 15 + 0.5 AC BC / 2 = 15 + 0.5 5x (2x + 3x) / 2 = 15 + 2.5 * 5x^2 = 15 + 12.5x^2.

С другой стороны, площадь ABC также равна S = 0.5 AB AC = 0.5 30 / 7x 5x = 6 * 5x = 30x.

Из двух уравнений выше мы находим, что 30x = 15 + 12.5x^2. Перенесем все в левую часть уравнения и приведем подобные члены:

12.5x^2 - 30x + 15 = 0.

Решим этот квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 12.5 15 = 900 - 750 = 150 > 0.

Так как дискриминант больше нуля, у квадратного уравнения есть два корня:

x1 = (-(-30) + sqrt(150)) / (2 12.5) ≈ 3.
x2 = (-(-30) - sqrt(150)) / (2 12.5) ≈ 1.7

Из условия задачи известно, что отрезок BN равен 2x, который не может быть отрицательным. Поэтому x1 = 3.5 не подходит, поэтому x = 1.7.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

S = 30 * 1.7 = 51

Ответ: площадь треугольника ABC равна 51.