В некоторый угол вписана окружность, радиусом 10см. Хорда, что соединяет точки прикосновения равна 16см. К окружности проведены две касательные параллельные к хорде. Найти стороны и площу получившийся трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точки прикосновения окружности и касательных как A, B, C, D. Точку пересечения касательных обозначим как E.

Поскольку AB и CD являются касательными к окружности, то угол BAD и угол CDA равны углам, составленным хордой и касательной на его конце. Таким образом, угол BAD = угол DEA и угол CDA = угол DEB.

Также поскольку угол BAD и BCD – это перпендикулярные касательные к окружности, то они равны и получаем, что угол ABD = угол CBD.

Из равенства треугольников ADE и CDE (по трем сторонам), получаем, что DE = DE и угол EDA = угол EDC.

Отсюда следует, что треугольники ADE и CDE равны, и углы AED и CED, а также углы DEA и DEC – это по 90° угла.

Для рассмотрения трапеции ABCD:

AD = BC = 16 см (сторона хорды)

AC = BD = 2 √(AD^2 - DE^2) = 2 √(16^2 - 10^2) = 2 √(256 - 100) = 2 √156 = 2 2 √39 = 4√39

AB = CD = 2 √(AC^2 - AD^2) = 2 √(4√39^2 - 16^2) = 2 √(1639 - 256) = 2 √(624 - 256) = 2 √368 = 2 4 √23 = 8√23

Таким образом, получаем стороны трапеции ABCD: AB = CD = 8√23 см, BC = AD = 16 см, AC = BD = 4√39 см.

Площадь трапеции равна (BC + AD) высота / 2 = (16 + 4√39) 10 / 2 = 100 + 20√39 кв. см.