Найдите объём тела, полученного врезультате вращения четырехугольника свершинами в точках A(0; 0), B(0; 2), C(4; 2) иD(1; 0) вокруг оси Ox.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно найти площадь фигуры, образованной вращением четырехугольника вокруг оси Ox, и затем умножить её на ширину этой фигуры, чтобы найти объем.

Площадь фигуры, образованной вращением четырехугольника ABCD вокруг оси Ox, равна интегралу от (x=0) до (x=4) функции (y(x)) (зависимости (y) от (x)):

[S = \int_{0}^{4} y(x) \,dx]

Для данного четырехугольника получаем, что (y(x) = \begin{cases} 2 & 0 \leq x \leq 1 \ 0 & 1 \leq x \leq 4 \end{cases})

Таким образом, площадь фигуры:

[S = \int{0}^{1} 2 \,dx + \int{1}^{4} 0 \,dx = \int{0}^{1} 2 \,dx = 2x \Big|{0}^{1} = 2]

Ширина фигуры составляет 4 единицы (расстояние между x-координатами точек C и D).

Теперь находим объем:

[V = S \cdot width = 2 \cdot 4 = 8]

Ответ: объем тела, полученного вращением четырехугольника ABCD вокруг оси Ox, равен 8.