Задание 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b. Угол при основании равен α. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. Указание: решить задачу можно, используя формулы для площади треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть b - боковая сторона треугольника, a - основание треугольника и r - радиус вписанной окружности.

Так как треугольник равнобедренный, то основание разделяется на две равные части, каждая из которых равна a/2.

Также из условия равенства треугольника мы имеем, что угол при вершине равен α, следовательно, угол при основании равен 180 - 2α.

Теперь найдем высоту треугольника h с помощью формулы для площади треугольника:

S = 0.5 a h
h = 2S / a

где S - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти также через полупериметр треугольника и радиус вписанной в него окружности:

S = rp
p = (b + a + a) / 2
S = r * (b + 2a) / 2

Теперь найдем радиус вписанной окружности r:

2S = r * (b + 2a)
r = 2S / (b + 2a)

Подставляем значение h:

r = 2 (r (b + 2a) / 2) / (b + 2a)
r = r

Ответ: радиус вписанной в треугольник окружности равен r.