Дан треугольник ABC. На стороне BC выбраны точки D и E так, что угол ВАD равен углу EAC. В треугольники ABD и AEC вписаны окружности с центрами I и J соответственно, F – точка пересечения BI и EJ, G – точка пересечения DI и CJ. Доказать, что точки I, J, F, G лежат на одной окружности, центр которой принадлежит прямой IbJc, где Ib, Jc – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, которые касаются соответственно сторон AC и AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что угол ВАD равен углу EAC, значит угол BAC равен углу BDA = BIA = CJA = CEA. Отсюда следует, что треугольники ABC и JAC подобны, так как у них равны углы при вершине A. Аналогично, треугольники ABC и IAB подобны.

Из подобия треугольников ABC, JAC и IAB следует, что AB/AI = AC/AJ = BC/BC = 1, откуда AI = AJ и точки I, J лежат на биссектрисах угла A.

Теперь заметим, что угол CFI = 180 - GFI, так как F лежит на дуге AB, не содержащей точку C. Аналогично, угол CGI = 180 - GDI. Поэтому углы CFI и CGI равны, а значит точки I, J, F, G лежат на одной окружности.

Также угол GFI равен углу IGB, так как F и G являются центрами вписанных окружностей в треугольники ABD и ACD, с радиусами FI и GI. Аналогично, угол GEC равен углу JGB.

Получаем, что треугольник GFI подобен треугольнику GJI, так как у них равны углы при вершине G. Отсюда следует, что угол FJI равен углу GIF, а значит точки I, J, F, G лежат на одной окружности.

Наконец, чтобы доказать, что центр этой окружности лежит на прямой IbJc, заметим, что Ib и Jc являются серединами дуг BC и CB, не содержащих точку A. Значит, IbJc перпендикулярна линии, соединяющей центры I и J, а значит центр окружности, проходящей через точки I, J, F, G, лежит на линии IbJc.

Таким образом, мы доказали, что точки I, J, F, G лежат на одной окружности, центр которой принадлежит прямой IbJc.