В окружности с центром О проведена хорда АВ, пересекающая диаметр CD в точке K. Расстояние от О до АВ равно 4, АВ=16. Найти ОС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности как R. Так как хорда АВ пересекает диаметр CD в точке К, то треугольник ОКА является равнобедренным и OK = AK. Расстояние от центра О до хорды АВ равно R - 4.

Из равнобедренного треугольника ОКА находим AK
AK^2 = OA^2 - OK^
AK^2 = R^2 - (R - 4)^
AK^2 = R^2 - R^2 + 8R - 1
AK = √(8R - 16) = 4√(2R - 4)

Угол КАВ равен прямому углу, так как AB - диаметр, а OK - высота треугольника ОКА. Тогда по теореме Пифагора получаем
16^2 = AK^2 + OK^
256 = 16(2R - 4) + R^
256 = 32R - 64 + R^
R^2 - 32R + 320 =
(R - 20)(R - 16) = 0

R = 20 или R = 16

Так как R > 0, то R = 20. Тогда расстояние OC равно R - 4 = 20 - 4 = 16.

Итак, ОС = 16.