Точки M, N, P лежат на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, причем AM:AB=BN:BC=CP:CA=1:3. Площадь треугольника MNP равна S. Найти площадь треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ABC через a, b и c соответственно.

Так как AM:AB=1:3, то AM = a/4, а MB = 3a/
Так как BN:BC=1:3, то BN = b/4, а NC = 3b/
Так как CP:CA=1:3, то CP = c/4, а PA = 3c/4

Площадь треугольника ABC можно выразить через площади треугольников MNP, BPC, CAP и ANB
S(ABC) = S(MNP) + S(BPC) + S(CAP) + S(ANB)

Найдем отношения сторон треугольников BPC, CAP и ANB к соответствующим сторонам треугольника ABC
BC / MB = 4/
CA / CP = 4/
AB / BN = 4/1

Таким образом, треугольники BPC, CAP и ANB подобны треугольнику ABC. Значит, их площади будут соотноситься как квадраты соответствующих сторон
S(BPC) = (4/3)^2 S(ABC
S(CAP) = (4/1)^2 S(ABC
S(ANB) = (4/1)^2 * S(ABC)

Подставим значения в формулу для S(ABC)
S(ABC) = S + (16/9)S + 16S + 16
S(ABC) = S + (16/9 + 16 + 16)
S(ABC) = S + (144/9 + 144 + 144)
S(ABC) = 433S

Итак, площадь треугольника ABC равна 433S.