В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90) CM - медиана. В треугольник BMC вписана окружность, точка касания делит отрезок BM пополам. Найдите меньший острый угол (в градусах) треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через A', B' и C' точки касания окружности, вписанной в треугольник BMC, с его сторонами BC, MC и BM соответственно. Так как точка касания делит отрезок BM пополам, то B'C' || BC и B'M = M'C'. Поскольку CM - медиана треугольника ABC, то BM = MC, следовательно, треугольник BMC равнобедренный, откуда получаем, что B'C' ⊥ BC. Так как B'C' - высота треугольника BMC, и острый угол в треугольнике равнобедренным треугольник равен 45 градусам.

Так как B'C' ⊥ BC, то B'C' является диаметром окружности, точка касания B''' с прямой AC лежит на серединном перпендикуляре к BC, следовательо, угол \angle C''B'''M = \angle A'CM = 45 :fe334:, и угол \angle C''B'''A' = 90 - (\angle A'CM + \angle B''C'M = 135 (Когда на плоскости задано две прямые, они и точка их пересечения разбивают плоскость на 4 равные части, углы которых составляют 90 :fe334:, если проследить, то видно, что комплементарный угол к 45 :fe334:, будет равен 135 :fe334:. )

Итак, меньший острый угол в треугольнике ABC равен 45 градусов.