Дан конус с вершиной М, радиус основания которой равен 2√21 и высота 2√3. Точки А,В,С лежат на окружности основания конуса так, что АВ – диаметр и угол АМС равен 90°. На дуге ВС окружности основания конуса, не содержащей точку А выбрана точка L так, что объем пирамиды МАВLС наибольший. Найти расстояние от L до плоскости АМС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через О центр окружности основания конуса, через Р – точку пересечения высоты конуса с основанием АВ, а через Q – точку пересечения диаметра АВ с окружностью. Также обозначим радиус окружности основания через R.

Так как АВ – диаметр окружности основания, то треугольник АОВ – равнобедренный, откуда ОА = OV = R. Также треугольник СОВ – прямоугольный, так как угол СОВ прямой (С, О, М ∈ окружности основания). Из этого треугольника можно найти, что СО = R * sqrt(2).

Теперь рассмотрим пирамиду МАВLС. Обозначим высоту пирамиды от вершины М до основания АВ через h. Тогда объем пирамиды будет равен V = (1/3) S_осн h, где S_осн – площадь основания пирамиды.

Так как МА – высота конуса, то мы можем записать, что МА = 2√3. Из прямоугольного треугольника МАО получаем OМ = R * sqrt(7). Также из прямоугольного треугольника МВО получаем, что ОВ = 2R.

Из прямоугольного треугольника QОВ находим длину РQ: RQ = sqrt(2)*R.

С учетом этого, можем записать, что V = (1/3) (1/2) AB ML СQ.

Теперь найдем выражение для CQ. Поскольку треугольник СОВ – прямоугольный, то, используя теорему Пифагора, имеем: CQ = sqrt(OC^2 + OQ^2) = sqrt(2R sqrt(2))^2 + (sqrt(2)R)^2 = R * 3.

Таким образом, V = (1/3) (1/2) AB ML R3 = (1/3) (1/2) 4√21 ML R 3 = 2√21 ML R.

Чтобы объем пирамиды был максимален, необходимо максимизировать произведение ML R. Но произведение ML R равно площади треугольника QLC.

Так как площадь треугольника QLC максимальна при прямом угле при вершине Л, то получаем, что треугольник QLC – прямоугольный. Из этого мы можем найти расстояние от L до плоскости АМС.

Расстояние от L до плоскости АМС равно R = 2√21.